Интервальными рядами динамики являются. Ряды динамики, их значение. Виды рядов динамики: моментальный и интервальный. Динамические ряды абсолютных и относительных величин, средних величин. Используя приведенные выше формулы, получим

Одной из важнейших задач статистики является изучение изменений анализируемых показателей во времени, то есть их динамика . Эта задача решается при помощи анализа рядов динамики (временных рядов).

Ряд динамики (или временной ряд) - это числовые значения определенного статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени (т.е. расположенные в хронологическом порядке).

Числовые значения того или иного статистического показателя, составляющего ряд динамики, называют уровнями ряда и обычно обозначают буквой y . Первый член ряда y 1 называют начальным или базисным уровнем , а последний y n - конечным . Моменты или периоды времени, к которым относятся уровни, обозначают через t .

Ряды динамики, как правило, представляют в виде или , причем по оси абсцисс строится шкала времени t , а по оси ординат - шкала уровней ряда y .

Пример ряда динамики

Таблица. Число жителей России в 2004-2009 гг. в млн.чел, на 1 января
График ряда динамики числа жителей России в 2004-2009 гг. в млн.чел, на 1 января

Данные и наглядно иллюстрируют ежегодное снижение числа жителей России в 2004-2009 годах.

Виды рядов динамики

Ряды динамики классифицируются по следующим основным признакам:

1. По времени — ряды моментные и интервальные (периодные) , которые показывают уровень явления на конкретный момент времени или на определенный его период. Сумма уровней интервального ряда дает вполне реальную статистическую величину за несколько периодов времени, например, общий выпуск продукции, общее количество проданных акций и т.п. Уровни моментного ряда, хотя и можно суммировать, но эта сумма реального содержания, как правило, не имеет. Так, если сложить величины запасов на начало каждого месяца квартала, то полученная сумма не означает квартальную величину запасов.
2. По форме представления — ряды абсолютных, относительных и средних величин.
3. По интервалам времени — ряды равномерные и неравномерные (полные и неполные), первые из которых имеют равные интервалы, а у вторых равенство интервалов не соблюдается.
4. По числу смысловых статистических величин — ряды изолированные и комплексные (одномерные и многомерные) . Первые представляют собой ряд динамики одной статистической величины (например, индекс инфляции), а вторые — нескольких (например, потребление основных продуктов питания).

В нашем ряд динамики: 1) моментный (приведены уровни на 1 января); 2) абсолютных величин (в млн.чел.); 3) равномерный (равные интервалы в 1 год); 4) изолированный.

Показатели изменения уровней ряда динамики

Анализ рядов динамики начинается с определения того, как именно изменяются уровни ряда (увеличиваются, уменьшаются или остаются неизменными) в абсолютном и относительном выражении. Чтобы проследить за направлением и размером изменений уровней во времени, для рядов динамики рассчитывают показатели изменения уровней ряда динамики :

• абсолютное изменение (абсолютный прирост);
• относительное изменение (темп роста или индекс динамики);
• темп изменения (темп прироста).

Все эти показатели могут определяться базисным способом, когда уровень данного периода сравнивается с первым (базисным) периодом, либо цепным способом - когда сравниваются два уровня соседних периодов.

Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда, определяется по формуле

i -того) периода больше или меньше первого (базисного) уровня, и, следовательно, может иметь знак «+» (при увеличении уровней) или «-» (при уменьшении уровней).

Цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда, определяется по формуле

Оно показывает, на сколько (в единицах показателей ряда) уровень одного (i -того) периода больше или меньше предыдущего уровня, и может иметь знак «+» или «-».

В в столбце 3 рассчитаны базисные абсолютные изменения, а в столбце 4 - цепные абсолютные изменения.

Между базисными и цепными абсолютными изменениями существует взаимосвязь : сумма цепных абсолютных изменений равна последнему базисному изменению, то есть

.

В нашем подтверждается правильность расчета абсолютных изменений: = - 2,3 рассчитана в итоговой строке 4-го столбца, а = - 2,3 - в предпоследней строке 3-го столбца .

Базисное относительное изменение (базисный темп роста или базисный индекс динамики) представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда, определяясь по формуле

Цепное относительное изменение (цепной темп роста или цепной индекс динамики) представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда, определяясь по формуле

.

Относительное изменение показывает во сколько раз уровень данного периода больше уровня какого-либо предшествующего периода (при i >1) или какую его часть составляет (при i <1). Относительное изменение может выражаться в виде коэффициентов , то есть простого кратного отношения (если база сравнения принимается за единицу), и в процентах (если база сравнения принимается за 100 единиц) путем домножения относительного изменения на 100%.

В нашем в столбце 5 найдены базисные относительные изменения, а в столбце 6 – цепные относительные изменения.

Между базисными и цепными относительными изменениями существует взаимосвязь: произведение цепных относительных изменений равно последнему базисному изменению, то есть

В нашем примере про число жителей России подтверждается правильность расчета относительных изменений: = 0,995*0,995*0,996*0,999*0,999 = 0,984 - рассчитано по данным 6-го столбца, а = 0,984 - в предпоследней строке 5-го столбца .

Темп изменения (темп прироста) уровней - относительный показатель, показывающий, на сколько процентов данный уровень больше (или меньше) другого, принимаемого за базу сравнения. Он рассчитывается путем вычитания из относительного изменения 100%, то есть по формуле:

,

Или как процентное отношение абсолютного изменения к тому уровню, по сравнению с которым рассчитано абсолютное изменение (базисный уровень), то есть по формуле:

.

В нашем в столбце 7 найдены базисные темпы изменения, а в столбце 8 – цепные. Все расчеты свидетельствуют о ежегодном снижении числа жителей в России за период 2004-2009 гг.

Средние показатели ряда динамики

Каждый ряд динамики можно рассматривать как некую совокупность n меняющихся во времени показателей, которые можно обобщать в виде средних величин. Такие обобщенные (средние) показатели особенно необходимы при сравнении изменений того или иного показателя в разные периоды, в разных странах и т.д.

Обобщенной характеристикой ряда динамики может служить прежде всего средний уровень ряда . Способ расчета среднего уровня зависит от того, моментный ряд или интервальный (периодный).

В случае интервального ряда его средний уровень определяется по формуле из уровней ряда, т.е.

=
Если имеется моментный ряд, содержащий n уровней (y1, y2, …, yn ) с равными промежутками между датами (моментами времени), то такой ряд легко преобразовать в ряд средних величин. При этом показатель (уровень) на начало каждого периода одновременно является показателем на конец предыдущего периода. Тогда средняя величина показателя для каждого периода (промежутка между датами) может быть рассчитана как полусумма значений у на начало и конец периода, т.е. как . Количество таких средних будет . Как указывалось ранее, для рядов средних величин средний уровень рассчитывается по средней арифметической. Следовательно, можно записать
.
После преобразования числителя получаем
,

Где Y1 и Yn — первый и последний уровни ряда; Yi — промежуточные уровни.

Эта средняя известна в статистике как средняя хронологическая для моментных рядов. Такое название она получила от слова «cronos» (время, лат.), так как рассчитывается из меняющихся во времени показателей.

В случае неравных промежутков между датами среднюю хронологическую для моментного ряда можно рассчитать как среднюю арифметическую из средних значений уровней на каждую пару моментов, взвешенных по величине расстояний (отрезков времени) между датами, т.е.
.
В данном случае предполагается, что в промежутках между датами уровни принимали разные значения, и мы из двух известных (yi и yi+1 ) определяем средние, из которых затем уже рассчитываем общую среднюю для всего анализируемого периода.
Если же предполагается, что каждое значение yi остается неизменным до следующего (i+ 1)- го момента, т.е. известна точная дата изменения уровней, то расчет можно осуществлять по формуле средней арифметической взвешенной:
,

Где - время, в течение которого уровень оставался неизменным.

Кроме среднего уровня в рядах динамики рассчитываются и другие средние показатели - среднее изменение уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения .

Базисное среднее абсолютное изменение представляет собой частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений. То есть

Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда представляет собой частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений, то есть

По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность.

Вычитанием 1 из базисного или цепного среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения , по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики.

Ряды динамики — это ряды статистических показателей, характеризующих развитие явлений природы и общества во времени. Публикуемые Госкомстатом России статистические сборники содержат большое количество рядов динамики в табличной форме. Ряды динамики позволяют выявить закономерности развития изучаемых явлений.

Ряды динамики содержат два вида показателей. Показатели времени (годы, кварталы, месяцы и др.) или моменты времени (на начало года, на начало каждого месяца и т.п.). Показатели уровней ряда . Показатели уровней рядов динамики могут быть выражены абсолютными величинами (производство продукта в тоннах или рублях), относительными величинами (удельный вес городского населения в %) и средними величинами (средняя заработная плата работников отрасли по годам и т. п.). В ряд динамики содержит два столбца или две строки.

1. все показатели ряда динамики должны быть научно обоснованными, достоверными;
2. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по времени, т.е. должны быть исчислены за одинаковые периоды времени или на одинаковые даты;
3. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по территории;
4. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по содержанию, т.е. исчислены по единой методологии, одинаковым способом;
5. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по кругу учитываемых хозяйств. Все показатели ряда динамики должны быть приведены в одних и тех же единицах измерения.

Статистические показатели могут характеризовать либо результаты изучаемого процесса за период времени, либо состояние изучаемого явления на определенный момент времени, т.е. показатели могут быть интервальными (периодическими) и моментными. Соответственно первоначально ряды динамики могут быть либо интервальными, либо моментными. Моментные ряды динамики в свою очередь могут быть с равными и неравными промежутками времени.

Первоначальные ряды динамики могут быть преобразованы в ряд средних величин и ряд относительных величин (цепной и базисный). Такие ряды динамики называют производными рядами динамики.

Методика расчета среднего уровня в рядах динамики различна, обусловлена видом ряда динамики. На примерах рассмотрим виды рядов динамики и формулы для расчета среднего уровня.

Интервальные ряды динамики

Уровни интервального ряда характеризуют результат изучаемого процесса за период времени: производство или реализация продукции (за год, квартал, месяц и др. периоды), число принятых на работу, число родившихся и.т.п. Уровни интервального ряда можно суммировать. При этом получаем такой же показатель за более длительные интервалы времени.

Средний уровень в интервальных рядах динамики () исчисляется по формуле простой:

• y — уровни ряда (y 1 , y 2 ,...,y n ),
• n — число периодов (число уровней ряда).

Рассмотрим методику расчета среднего уровня интервального ряда динамики на примере данных о продаже сахара в России.

Это среднегодовой объем реализации сахара населению России за 1994-1996 гг. Всего за три года было продано 8137 тыс.тонн сахара.

Моментные ряды динамики

Уровни моментных рядов динамики характеризуют состояние изучаемого явления на определенные моменты времени. Каждый последующий уровень включает в себя полностью или частично предыдущий показатель. Так, например, число работников на 1 апреля 1999 г. полностью или частично включает число работников на 1 марта.

Если сложить эти показатели, то получим повторный счет тех работников, которые работали в течение всего месяца. Полученная сумма экономического содержания не имеет, это расчетный показатель.

В моментных рядах динамики с равными интервалами времени средний уровень ряда исчисляется по формуле :

• y -уровни моментного ряда;
• n -число моментов (уровней ряда);
• n — 1 — число периодов времени (лет, кварталов, месяцев).

Рассмотрим методику такого расчета по следующим данным о списочной численности работников предприятия за 1 квартал.

Необходимо вычислить средний уровень ряда динамики, в данном примере — предприятия:

Расчет выполнен по формуле средней хронологической. Средняя списочная численность работников предприятия за 1 квартал составила 155 человек. В знаменателе — 3 месяца в квартале, а в числителе (465) — это расчетное число, экономического содержания не имеет. В подавляющем числе экономических расчетов месяцы, независимо от числа календарных дней, считаются равными.

В моментных рядах динамики с неравными интервалами времени средний уровень ряда исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной. В качестве весов средней принимается продолжительность времени (t- дни, месяцы). Выполним расчет по этой формуле.

Списочная численность работников предприятия за октябрь такова: на 1 октября — 200 человек, 7 октября принято 15 человек, 12 октября уволен 1 человек, 21 октября принято 10 человек и до конца месяца приема и увольнения работников не было. Эту информацию можно представить в следующем виде:

При определении среднего уровня ряда надо учесть продолжительность периодов между датами, т. е. применять :

В данной формуле числитель () имеет экономическое содержание. В приведенном примере числитель (6665 человеко-дней) — это работников предприятия за октябрь. В знаменателе (31 день) — календарное число дней в месяце.

В тех случаях, когда имеем моментный ряд динамики с неравными интервалами времени, а конкретные даты изменения показателя неизвестны исследователю, то сначала надо вычислить среднюю величину () для каждого интервала времени по формуле средней арифметической простой, а затем вычислить средний уровень для всего ряда динамики, взвесив исчисленные средние величины продолжительностью соответствующего интервала времени . Формулы имеют следующий вид:

Рассмотренные выше ряды динамики состоят из абсолютных показателей, получаемых в результате статистических наблюдений. Построенные первоначально ряды динамики абсолютных показателей могут быть преобразованы в ряды производные: ряды средних величин и ряды относительных величин. Ряды относительных величин могут быть цепные (в % к предыдущему периоду) и базисные (в % к начальному периоду, принятому за базу сравнения — 100%). Расчет среднего уровня в производных рядах динамики выполняется по другим формулам.

Ряд средних величин

Сначала преобразуем приведенный выше моментный ряд динамики с равными интервалами времени в ряд средних величин. Для этого вычислим среднюю списочную численность работников предприятия за каждый месяц, как среднюю из показателей на начало и конец месяца(): за январь (150+145):2=147,5; за февраль (145+162):2 = 153,5; за март (162+166):2 = 164.

Представим это в табличной форме.

Средний уровень в производных рядах средних величин рассчитывается по формуле :

Заметим, что средняя списочная численность работников предприятия за 1 квартал, вычисленная по формуле средней хронологической на базе данных на 1 число каждого месяца и по средней арифметической — по данным производного ряда — равны между собой, т.е. 155 человек. Сравнение расчетов позволяет понять, почему в формуле средней хронологической начальный и конечный уровни ряда берутся в половинном размере, а все промежуточные уровни берутся в полном размере.

Ряды средних величин, производные от моментных или интервальных рядов динамики, не следует смешивать с рядами динамики, в которых уровни выражены средней величиной. Например, средняя урожайность пшеницы по годам, средняя заработная плата и т.д.

Ряды относительных величин

В экономической практике очень широко используют ряды . Практически любой первоначальный ряд динамики можно преобразовать в ряд относительных величин. По сути преобразование означает замену абсолютных показателей ряда относительными величинами динамики.

Средний уровень ряда в относительных рядах динамики называется среднегодовым темпом роста. Методы его расчета и анализа рассмотрены ниже.

Анализ рядов динамики

Для обоснованной оценки развития явлений во времени необходимо исчислить аналитические показатели: абсолютный прирост, коэффициент роста, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста.

В таблице приведен цифровой пример, а ниже даны формулы расчета и экономическая интерпретация показателей.

Абсолютные приросты (Δy ) показывают, на сколько единиц изменился последующий уровень ряда по сравнению с предыдущим (гр.3. — цепные абсолютные приросты) или по сравнению с начальным уровнем (гр.4. — базисные абсолютные приросты). Формулы расчета можно записать следующим образом:

При уменьшении абсолютных значений ряда будет соответственно "уменьшение", "снижение".

Показатели абсолютного прироста свидетельствуют о том, что, например, в 1998 г. производство продукта "А" увеличилось по сравнению с 1997 г. на 4 тыс. т, а по сравнению с 1994 г. — на 34 тыс. т.; по остальным годам см. табл. 5 гр. 3 и 4.

Коэффициент роста показывает, во сколько раз изменился уровень ряда по сравнению с предыдущим (гр.5 — цепные коэффициенты роста или снижения) или по сравнению с начальным уровнем (гр.6 — базисные коэффициенты роста или снижения). Формулы расчета можно записать следующим образом:

Темпы роста показывают, сколько процентов составляет последующий уровень ряда по сравнению с предыдущим (гр.7 — цепные темпы роста) или по сравнению с начальным уровнем (гр.8 — базисные темпы роста). Формулы расчета можно записать следующим образом:

Так, например, в 1997 г. объем производства продукта "А" по сравнению с 1996 г. составил 105,5 % (

Темпы прироста показывают, на сколько процентов увеличился уровень отчетного периода по сравнению с предыдущим (гр.9- цепные темпы прироста) или по сравнению с начальным уровнем (гр.10- базисные темпы прироста). Формулы расчета можно записать следующим образом:

Т пр = Т р - 100% или Т пр = абсолютный прирост / уровень предшествующего периода * 100%

Так, например, в 1996 г. по сравнению с 1995 г. продукта "А" произведено больше на 3,8 % (103,8 %- 100%) или (8:210)х100%, а по сравнению с 1994 г. — на 9% (109% — 100%).

Если абсолютные уровни в ряду уменьшаются, то темп будет меньше 100% и соответственно будет темп снижения (темп прироста со знаком минус).

Абсолютное значение 1% прироста (гр. 11) показывает, сколько единиц надо произвести в данном периоде, чтобы уровень предыдущего периода возрос на 1 %. В нашем примере, в 1995 г. надо было произвести 2,0 тыс. т., а в 1998 г. — 2,3 тыс. т., т.е. значительно больше.

Определить величину абсолютного значения 1% прироста можно двумя способами:

• уровень предшествующего периода разделить на 100;
• цепные абсолютные приросты разделить на соответствующие цепные темпы прироста.

Абсолютное значение 1% прироста =

В динамике, особенно за длительный период, важен совместный анализ темпов прироста с содержанием каждого процента прироста или снижения.

Заметим, что рассмотренная методика анализа рядов динамики применима как для рядов динамики, уровни которых выражены абсолютными величинами (т, тыс. руб., число работников и т.д.), так и для рядов динамики, уровни которых выражены относительными показателями (% брака, % зольности угля и др.) или средними величинами (средняя урожайность в ц/га, средняя заработная плата и т.п.).

Наряду с рассмотренными аналитическими показателями, исчисляемыми за каждый год в сравнении с предшествующим или начальным уровнем, при анализе рядов динамики необходимо исчислить средние за период аналитические показатели: средний уровень ряда, средний годовой абсолютный прирост (уменьшение) и средний годовой темп роста и темп прироста.

Методы расчета среднего уровня ряда динамики были рассмотрены выше. В рассматриваемом нами интервальном ряду динамики средний уровень ряда исчисляется по формуле простой:

Среднегодовой объем производства продукта за 1994- 1998 гг. составил 218,4 тыс. т.

Среднегодовой абсолютный прирост исчисляется также по формуле средней арифметической простой:

Ежегодные абсолютные приросты изменялись по годам от 4 до 12 тыс.т (см.гр.3), а среднегодовой прирост производства за период 1995 — 1998 гг. составил 8,5 тыс. т.

Методы расчета среднего темпа роста и среднего темпа прироста требуют более подробного рассмотрения. Рассмотрим их на примере приведенных в таблице годовых показателей уровня ряда.

Средний годовой темп роста и средний годовой темп прироста

Прежде всего отметим, что приведенные в таблице темпы роста (гр.7 и 8) являются рядами динамики относительных величин — производными от интервального ряда динамики (гр.2). Ежегодные темпы роста (гр.7) изменяются по годам (105%; 103,8%; 105,5%; 101,7%). Как вычислить среднюю величину из ежегодных темпов роста? Эта величина называется среднегодовым темпом роста.

Среднегодовой темп роста исчисляется в следующей последовательности:

Среднегодовой темп прироста ( определяется путем вычитания из темпа роста 100%.

Среднегодовой коэффициент роста (снижения) по формулам средней геометрической может быть исчислен двумя способами:

1) на базе абсолютных показателей ряда динамики по формуле:

• n — число уровней;
• n — 1 — число лет в период;

2) на базе ежегодных коэффициентов роста по формуле

• m — число коэффициентов.

Результаты расчета по формулам равны, так как в обеих формулах показатель степени — число лет в периоде, в течение которого происходило изменение. А подкоренное выражение — это коэффициент роста показателя за весь период времени (см. табл. 5, гр.6, по строке за 1998 г.).

Среднегодовой темп роста равен

Среднегодовой темп прироста определяется путем вычитания из среднегодового темпа роста 100%. В нашем примере среднегодовой темп прироста равен

Следовательно, за период 1995 — 1998 гг. объем производства продукта "А" в среднем за год возрастал на 4,0%. Ежегодные темпы прироста колебались от 1,7% в 1998 г. до 5,5% в 1997 г. (за каждый год темпы прироста см. в табл. 5, гр. 9).

Среднегодовой темп роста (прироста) позволяет сравнивать динамику развития взаимосвязанных явлений за длительный период времени (например, среднегодовые темпы роста численности работающих по отраслям экономики, объема производства продукции и др.), сравнивать динамику какого-либо явления по разным странам, исследовать динамику какого-либо явления по периодам исторического развития страны.

Анализ сезонных колебаний

Изучение сезонных колебаний проводится с целью выявления закономерно повторяющихся различий в уровне рядов динамики в зависимости от времени года. Так, например, реализация сахара населению в летний период значительно возрастает в связи с консервированием фруктов и ягод. Потребность в рабочей силе в сельскохозяйственном производстве различна в зависимости от времени года. Задача статистики состоит в том, чтобы измерить сезонные различия в уровне показателей, а чтобы выявленные сезонные различия были закономерными (а не случайными) необходимо строить анализ на базе данных за несколько лет, по крайней мере не менее чем за три года. В табл. 6 приведены исходные данные и методика анализа сезонных колебаний методом простой средней арифметической.

Средняя величина за каждый месяц исчисляется по формуле средней арифметической простой. Например, за январь 2202 = (2106 +2252 +2249):3.

Индекс сезонности (табл. 5 гр.7.) исчисляется путем деления средних величин за каждый месяц на общую среднюю месячную величину, принятую за 100%. Средняя месячная за весь период может быть исчислена путем деления общего расхода горючего за три года на 36 месяцев (1188082 т: 36 = 3280 т) или путем деления на 12 суммы средних месячных, т.е. суммарного итога по гр. 6 (2022 + 2157 + 2464 и т.д. + 2870) : 12.

Рис. 1. Сезонные колебания потребления горючего в сельскохозяйственных предприятиях за 3 года.

Для наглядности на основе индексов сезонности строится график сезонной волны (рис. 1). По оси абсцисс располагают месяцы, а по оси ординат — индексы сезонности в процентах (табл. 6, гр.7). Общая средняя месячная за все годы располагается на уровне 100%, а средние месячные индексы сезонности в виде точек наносят на поле графика в соответствии с принятым масштабом по оси ординат.

Точки соединяют между собой плавной ломаной линией.

В приведенном примере годовые объемы расхода горючего различаются незначительно. Если же в ряду динамики наряду с сезонными колебаниями имеется ярко выраженная тенденция роста (снижения), т.е. уровни в каждом последующем году систематически значительно возрастают (уменьшаются) по сравнению с уровнями предыдущего года, то более достоверные данные о размерах сезонности получим следующим образом:

1. для каждого года вычислим среднюю месячную величину;
2. исчислим индексы сезонности за каждый год путем деления данных за каждый месяц на среднюю месячную величину за этот год и умножения на 100%;
3. за весь период исчислим средние индексы сезонности по формуле средней арифметической простой из исчисленных за каждый год месячных индексов сезонности. Так, например, за январь средний индекс сезонности получим, если сложим январские значения индексов сезонности за все годы (допустим за три года) и разделим на число лет, т.е. на три. Аналогично исчислим за каждый месяц средние индексы сезонности.

Переход за каждый год от абсолютных месячных значений показателей к индексам сезонности позволяет устранить тенденцию роста (снижения) в ряду динамики и более точно измерить сезонные колебания.

В условиях рынка при заключении договоров на поставку различной продукции (сырья, материалов, электроэнергии, товаров) необходимо располагать информацией о сезонных потребностях в средствах производства, о спросе населения на отдельные виды товаров. Результаты исследования сезонных колебаний важны для эффективного управления экономическими процессами.

Приведение рядов динамики к одинаковому основанию

В экономической практике часто возникает необходимость сравнения между собой нескольких рядов динамики (например, показатели динамики производства электроэнергии, производства зерна, продажи легковых автомобилей и др.). Для этого нужно преобразовать абсолютные показатели сравниваемых рядов динамики в производные ряды относительных базисных величин, приняв показатели какого-либо одного года за единицу или за 100%.Такое преобразование нескольких рядов динамики называется приведением их к одинаковому основанию. Теоретически за базу сравнения может быть принят абсолютный уровень любого года, но в экономических исследованиях для базы сравнения надо выбирать период, имеющий определенное экономическое или историческое значение в развитии явлений. В настоящее время за базу сравнения целесообразно принять, например, уровень 1990 г.

Методы выравнивания рядов динамики

Для исследования закономерности (тенденции) развития изучаемого явления необходимы данные за длительный период времени. Тенденцию развития конкретного явления определяет основной фактор. Но наряду с действием основного фактора в экономике на развитие явления оказывают прямое или косвенное влияние множество других факторов, случайных, разовых или периодически повторяющихся (годы, благоприятные для сельского хозяйства, засушливые и т.п.). Практически все ряды динамики экономических показателей на графике имеют форму кривой, ломаной линии с подъемами и снижениями. Во многих случаях по фактическим данным ряда динамики и по графику трудно определить даже общую тенденцию развития. Но статистика должна не только определить общую тенденцию развития явления (рост или снижение), но и дать количественные (цифровые) характеристики развития.

• Метод укрупнения интервалов
• Метод скользящей средней

В табл. 7 (гр. 2) приведены фактические данные о производстве зерна в России за 1981- 1992 гг. (во всех категориях хозяйств, в весе после доработки) и расчеты по выравниванию этого ряда тремя методами.

Метод укрупнения интервалов времени (гр. 3).

Учитывая, что ряд динамики небольшой, интервалы взяты трехлетние и для каждого интервала исчислены средние. Среднегодовой объем производства зерна по трехлетним периодам исчислен по формуле средней арифметической простой и отнесен к среднему году соответствующего периода. Так, например, за первые три года (1981 — 1983 гг.) средняя записана против 1982 г.: (73,8+ 98,0+104,3) : 3= 92,0 (млн. т). За следующий трехлетний период (1984 — 1986 гг.) средняя (85,1 +98,6+ 107,5) : 3= 97,1 млн. т записана против 1985 г.

За остальные периоды результаты расчета в гр. 3.

Приведенные в гр. 3 показатели среднегодового объема производства зерна в России свидетельствуют о закономерном увеличении производства зерна в России за период 1981 — 1992 гг.

Метод скользящей средней

Метод скользящей средней (см. гр. 4 и 5) также основан на исчислении средних величин за укрупненные периоды времени. Цель та же — абстрагироваться от влияния случайных факторов, взаимопогасить их влияние в отдельные годы. Но метод расчета другой.

В приведенном примере исчислены пятизвенные (по пятилетним периодам) скользящие средние и отнесены к серединному году в соответствующем пятилетнем периоде. Так, за первые пять лет (1981-1985 гг.) по формуле средней арифметической простой исчислен среднегодовой объем производства зерна и записан в табл. 7 против 1983 г.(73,8+ 98,0+ 104,3+ 85,1+ 98,6): 5= 92,0 млн. т; за второй пятилетний период (1982 — 1986 гг.) результат записан против 1984 г. (98,0 + 104,3 +85,1 + 98,6 + 107,5):5 =493,5:5 = 98,7 млн. т.

За последующие пятилетние периоды расчет производится аналогичным способом путем исключения начального года и прибавления следующего за пятилетним периодом года и деления полученной суммы на пять. При этом методе концы ряда остаются пустыми.

Какой продолжительности должны быть периоды времени? Три, пять, десять лет? Вопрос решает исследователь. В принципе, чем больше период, тем больше происходит сглаживание. Но надо учитывать длину ряда динамики; не забывать, что метод скользящей средней оставляет срезанные концы выравненного ряда; учитывать этапы развития, например, в нашей стране долгие годы социально-экономическое развитие планировалось и соответственно анализировалось по пятилеткам.

Метод аналитического выравнивания

Метод аналитического выравнивания (гр.6 — 9) основан на вычислении значений выравненного ряда по соответствующим математическим формулам. В табл. 7 приведены вычисления по уравнению прямой линии:

Для определения параметров надо решить систему уравнений:

Необходимые величины для решения системы уравнений вычислены и приведены в таблице (см. гр.6 — 8), подставим их в уравнение:

В результате вычислений получаем: α= 87,96; b = 1,555 .

Подставим значение параметров и получим уравнение прямой:

Для каждого года подставляем значение t и получаем уровни выравненного ряда (см. гр.9):

Рис. 2. Производство зерна в России за 1981-1982 гг.

В выравненном ряду происходит равномерное возрастание уровней ряда в среднем за год на 1,555 млн.т (значение параметра "b"). Метод основан на абстрагировании влияния всех остальных факторов, кроме основного.

Явления могут развиваться в динамике равномерно (рост или снижение). В этих случаях чаще всего подходит уравнение прямой линии. Если же развитие неравномерно, например, сначала очень медленный рост, а с определенного момента резкое возрастание, или, наоборот, сначала резкое снижение, а затем замедление темпов спада, то выравнивание надо выполнить по другим формулам (уравнение параболы, гиперболы и др.). При необходимости надо обратиться к учебникам по статистике или специальным монографиям, где более подробно изложены вопросы выбора формулы для адекватного отражения фактически сложившейся тенденции исследуемого ряда динамики.

Для наглядности показатели уровней фактического ряда динамики и выравненных рядов нанесем на график (рис. 2). Фактические данные представляет ломанная линия черного цвета, свидетельствующая о подъемах и снижениях объема производства зерна. Остальные линии на графике показывают, что применение метода скользящей средней (линия со срезанными концами) позволяет существенно выровнять уровни динамического ряда и соответственно на графике ломаную кривую линию сделать более плавной, сглаженной. Однако выравненные линии все же остаются кривыми линиями. Построенная на базе теоретических значений ряда, полученных по математическим формулам, линия строго соответствует прямой линии.

Каждый из трех рассмотренных методов имеет свои достоинства, но в большинстве случаев метод аналитического выравнивания предпочтителен. Однако его применение связано с большими вычислительными работами: решение системы уравнений; проверка обоснованности выбранной функции (формы связи); вычисление уровней выравненного ряда; построение графика, Для успешного выполнения таких работ целесообразно использовать компьютер и соответствующие программы.

Социально-экономические явления, изучаемые статистикой, постоянно изменяются и развиваются как в пространстве, так и во времени. Со временем - от месяца к месяцу, от года к году - меняется численность и состав населения, объем и структура производимой продукции, уровень производительности труда, урожайности сельскохозяйственных культур и т.д. Поэтому одной из важных задач статистики является изучение общественных явлений в непрерывном развитии и динамике. в Динамикой в статистике принято называть процесс развития, движения социально-экономических явлений во времени. Для отображения и анализа динамики строят динамические (хронологические, временные) ряды. Исследование динамики дает возможность охарактеризовать процесс развития явлений, раскрыть основные пути, тенденции и темпы этого развития.

Рядом динамики называют ряд статистических показателей, характеризующих изменение общественных явлений во времени. Например, численность населения страны на определенные даты (даты переписи или дать учета), урожайность зерновых культур в хозяйствах области за 2001 - 2010 гг., поголовье коров в агрофирме на начало каждого месяца и т.д.

Каждый ряд динамики состоит из двух обязательных элементов: периодов времени (/) и уровней (в). Показателями времени в рядах динамики могут быть либо определенные даты (моменты) времени, либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, декады, сутки).

Уровнем ряда динамики называют статистический показатель, который характеризует величину общественного явления на данный момент или за определенный период времени. Они отображают количественную оценку (меру) развития исследуемого общественного явления.

Уровни динамического ряда могут быть выражены абсолютными, относительными и средними величинами. При анализе рядов динамики все эти величины необходимо использовать в комплексе, они должны дополнять друг друга. Уровни ряда динамики могут характеризовать величину статистического показателя на определенный момент (какую-нибудь дату) и за соответствующий период времени (год, месяц, день, час и т.д.). В связи с этим различают моментные и интервальные ряды динамики.

Моментным называют ряды динамики, которые характеризуют размер явления на определенный момент времени. Примером моментного ряда динамики является следующая информация о списочной численности работников предприятия в 2010 г. (табл.10.1).

Таблица 10.1. Численность работников предприятия в 2010 г.

С помощью моментных рядов динамики характеризуется чаще всего состояние условий и факторов производства. Например, динамический ряд наличия кормов и поголовье скота на начало каждого месяца, мощность тракторного парка на конец года и т.д.

В моментному ряду динамики одни и те же единицы совокупности входят в состав нескольких уровней. Поэтому суммирование уровней моментного ряда динамики не имеет смысла, так как при этом итоги лишены экономического содержания. Так, сумма численности работников предприятия на 1.01 и 1.04.2010 г. (250 + 254 = 504) не имеет реального смысла. Однако определение разницы между уровнями моментного динамического ряда имеет определенный смысл. Так, разница между численностью работников предприятия на 1.04 и 1.01.2010 г. (254 - 250) характеризует абсолютный прирост численности работников за этот период.

Интервальными называют ряды динамики, которые характеризуют размер явлений за определенный период времени. Примером интервального ряда динамики могут быть данные, приведенные в табл. 10.2.

Таблица 10.2. Динамика валового сбора сахарной свеклы в хозяйстве за 2008-2010 гг.

С помощью интервальных динамических рядов как правило характеризуются итоги производственного процесса (объемы произведенной продукции, выполненных работ, затрат труда, количества внесенных удобрений и т.д.). Уровни интервального ряда динамики абсолютных показателей в отличие от уровней моментного ряда не содержатся в предыдущих или последующих показателях. Поэтому важное экономическое значение имеет суммирование этих уровней, сумма уровней интервального ряда динамики характеризует объем изучаемого явления за более долгий период. Например, суммирования валового сбора сахарной свеклы в хозяйстве за исследуемый период (2006 - 2010 гг.)дает представление об объеме ее производства за 5 лет (44465 т). Для выявления тенденции изменения изучаемого явления уровни интервального ряда динамики можно укрупнять.

При изучении динамики социально-экономических явлений решается целый ряд задач, основными из которых являются следующие: 1) характеристика с помощью системы показателей динамики интенсивности изменения уровней ряда от периода к периода или от даты к дате; 2) определение средних значений динамического ряда за тот или иной период; 3) выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда) изучаемого явления; 4) прогнозирование развития явления на перспективу; 5) выявление факторов, обусловивших изменение исследуемого общественного явления во времени; 6) анализ сезонных колебаний.

Одним из важных требований правильного исчисления и анализа показателей динамики является соблюдение условий сопоставления сравниваемых между собой уровней ряда динамики. Проблема сопоставимости данных особенно остро стоит в динамических рядах, поскольку они, как правило, охватывают значительные периоды времени, за которые могли возникнуть изменения, приводящие к несопоставимости статистических данных.

При построении и анализе рядов динамики необходимо обеспечить сопоставимость уровней ряда, прежде всего, за территорией, методикой расчета показателей, периодом или моментом времени, объектом и единицей наблюдения, степени охвата единиц исследуемой совокупности, единицами измерения и т.д.

Рассмотрим основные условия сопоставимости уровней ряда динамики.

Несопоставимость данных, что возникает в результате административно-территориальных изменений, часто оказывается в статистической практике. Это обусловлено тем, что границы территорий хозяйств, районов, областей и т. д. в течение исследуемого периода изменяются вследствие присоединения к ним новых территорий или отсоединения отдельных частей их территории. Для приведения данных к сопоставимому виду необходимо выполнить пересчет данных за предыдущие годы (до изменения территории) с учетом новых границ.

Наиболее существенным требованием при построении ряда динамики является единая методика исчисления уровня за каждый из периодов, что рассматривается. Благодаря этому обеспечивается сопоставимость статистических показателей по содержанию. Например, при изучении динамики урожайности сельскохозяйственных культур показатель урожайности должен относиться к одной и той же посевной площади (весенней продуктивной, фактически собранной и т. д.). При исследовании динамики стоимостных показателей объема продукции необходимо устранить влияние изменения цен. На практике для решения этой задачи количество продукции, произведенной в разные периоды, оценивают в ценах одного периода, которые называют фиксированными или сопоставимыми. Если ряд динамики представлены обобщающими показателями в условно-натуральных единицах измерения, коэффициенты сумірництва для всех уровней должны быть едиными.

Сопоставимость уровней ряда динамики за периодом или моментом наблюдения означает, во-первых, что все показатели характеризующие явление или за определенный период времени, либо на определенный момент времени. В связи с этим неправомерно сравнивать, например, среднегодовое число тракторов по числу тракторов на начало или конец года, во-вторых, в интервальных динамических рядах уровне должны относиться к равных периодов времени, а в момент них - должны быть, как правило, равные отрезки времени между моментами (датами) наблюдения. Кроме того, нельзя совмещать в одном ряду динамики периоды и моменты времени.

Сопоставимость за объектом наблюдения означает, что все уровни ряда динамики относятся к одному и тому же объекту наблюдения. Например, при исследовании динамики продуктивности коров объектом наблюдения могут быть государственные, коллективные, фермерские хозяйства, личные подсобные хозяйства населения или все категории в целом. Для получения сопоставимой в динамике продуктивности коров показатель должен рассчитываться по одной и той же категории хозяйства или по их совокупности.

Сопоставимость по единицам наблюдения предусматривает, что все равны полученные по одних и тех же единицах наблюдения. Единицами наблюдения могут быть отдельные предприятия или их подразделения. Поэтому, например, при изучении динамики урожайности сельскохозяйственных культур показатель урожайности должен определиться по одних и тех же сельскохозяйственных предприятиях, держгоспах, фирмах и т.д.

Кроме перечисленных требований, без учета которых невозможно построить ряд динамики, нужно придерживаться одних и тех же единиц измерения. Так, если данные о валовой сбор за одни годы приводятся в тоннах, а за другие - в центрах, то необходимо перечислить весь ряд в одни и те же единицы измерения.

Научно обоснованное формирование рядов динамики требует также выделения строго однородных периодов (этапов) развития исследуемых социально-экономических явлений, потому что всестороннего анализа динамических процессов можно достичь только в пределах однородных периодов. Периодизация динамических рядов следует проводить на основе глубокого теоретического анализа основных процессов и законов, определяющих развитие изучаемого явления.

Ряд динамики -

В зависимости от того, выражают уровни ряда состояние явления на определенный момент времени или его величину за определенный интервал, ряды динамики подразделяются на:

Моментные. Уровни моментных рядов динамики характеризуют состояние изучаемого явления на определенные моменты времени. Каждый последующий уровень включает в себя полностью или частично предыдущий показатель.

Если сложить эти показатели, то получим повторный счет тех работников, которые работали в течение всего месяца. Полученная сумма экономического содержания не имеет, это расчетный показатель.

В моментных рядах динамики с равными интервалами времени средний уровень ряда исчисляется по формулесредней хронологической:

y -уровни моментного ряда;n -число моментов (уровней ряда);n - 1 - число периодов времени (лет, кварталов, месяцев).

Интервальные. Уровни интервального ряда характеризуют результат изучаемого процесса за период времени: производство или реализация продукции (за год, квартал, месяц и др. периоды), число принятых на работу, число родившихся и.т.п. Уровни интервального ряда можно суммировать. При этом получаем такой же показатель за более длительные интервалы времени.

Средний уровень в интервальных рядах динамики исчисляется по формулесредней арифметическойпростой:

y - уровни ряда (y 1 , y 2 ,...,y n ),n - число периодов (число уровней ряда).

Система показателей ряда динамики. 41. Показателя ряда динамики с постоянной и переменной базой сравнения.

Ряд динамики - хронологический ряд, ряд последовательно расположенных в хронологическом порядке значений показателя, который в своих изменениях отражает ход развития изучаемого явления во времени.

Показатели ряда динамики:

Абсолютный прирост (∆) – статистический показатель, для выражения абсолютного роста (снижения) уровня ряда динамики. Его величина определяется как разность между двух сравнимых уровней.

Цепной:

Базисный:

Где y i -уровень i-ого ряда, y 1 -уровень базисного ряда

Темп роста (Т р ) – интенсивность изменения уровней ряда динамики. Представляет собой всегда положительное число и выражается в процентах.

Цепной: Т р = y i /y i -1 *100%

Базисный: Т р = y i /y 1 *100%

Темп прироста (Т пр ) определяется для выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда динамики в относительных величинах.

Цепной: Т пр =Т р цепной-100%

Базисный: Т пр =Т р базисный-100%

Показатель абсолютного значения одного процента прироста A 1% , |%|

Только цепной: A 1% =∆ ц / Т пр или A 1% =0,01 * y i -1

Методы выравнивания временных рядов .

Динамические ряды – ряды чисел, характеризующих изменение величины общественного явления во времени. Динамические ряды являются материалом, исходной базой для анализа развития социально-экономических явлений.

Динамический (временной ряд ) показывает движение явления или какого-либо признака во времени, т.е. изменение его в связи с переходом от одного момента или периода времени к следующему.

Способы выравнивания динамического ряда . Способами выравнивания динамического ряда являются: укрупнение периодов, расчет групповой средней, расчет скользящей средней, метод наименьших квадратов

Укрупнение периодов - применяется, когда явление в интервальном ряду выражено в абсолютных величинах, уровни которых суммируются по более крупным периодам. Применение возможно при кратном числе периодов.

Вычисление групповой средней - применяется, когда уровни интервального ряда выражены в абсолютных, средних или относительных величинах, которые суммируются, а затем делятся на число слагаемых. Способ применяется при кратном числе периодов.

Расчет скользящей средней - применяется, когда уровни явлений любого ряда выражены в абсолютных, средних или относительных величинах. Данный метод применяется при наличии некратного числа временных периодов (7, 11, 13, 17, 19) достаточно длинного динамического ряда. Путем вычисления групповой средней значений 3 периодов, а в последующем переходя на определенный уровень и два соседних с ним, осуществляется "скольжение" по периодам. Каждый уровень заменяется на среднюю величину (из данного уровня и двух соседних с ним). Данный метод применяется, когда не требуется особой точности, когда имеется достаточно длинный ряд и можно пренебречь потерей двух значений ряда; в случаях, когда изучается развитие явления под влиянием одного или двух факторов.

Метод наименьших квадратов применяется для более точной количественной оценки динамики изучаемого явления. Этим способом получаются такие выровненные значения уровней ряда, квадраты отклонений которых от истинных (эмпирических) показателей дают наименьшую сумму.

Средний уровень ряда определяет обобщенную величину абсолютных уровней. Он определяется по средней, исчисленной из значений, меняющихся во времени. Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики разные.

Средний уровень из абсолютных уровней для интервальных рядов динамики рассчитывается по формуле :

1. При равных интервалах используют среднюю арифметическую простую:

Где у - абсолютные уровни ряда;

n - число уровней ряда.

2. При неравных интервалах используют среднюю арифметическую взвешенную:

где у1,…,уn - уровни ряда динамики;

t1,… tn - веса, длительность интервалов времени.

Средний уровень моментного ряда динамики рассчитывается по формуле:

1. С равностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической моментного ряда:

Где у1,…,уn - уровни периода, за который делается расчет;
n - число уровней;
n-1 - длительность периода времени.

2. С неравностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической взвешенной:

Где у1,…,уn - уровни рядов динамики;
t - интервал времени между смежными уровнями

Средний абсолютный прирост в задачах статистики

Определяется как среднее из абсолютных приростов за равные промежутки времени одного периода. Он рассчитывается по формулам:

1. По цепным данным об абсолютных приростах за ряд лет рассчитывают средний абсолютный прирост как среднюю арифметическую простую:

где n - число степенных абсолютных приростов в исследуемом периоде.

2. Средний абсолютный прирост рассчитывают через базисный абсолютный прирост в случае равных интервалов

где m - число уровней ряда динамики в исследуемом периоде, включая базисный.

Есть свободная обобщающая характеристика интенсивности изменения уровней и показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики.

В качестве основы и критерия правильности вычисления среднего темпа роста (снижения) применяется обобщающий показатель, который рассчитывается как произведение цепных темпов роста, равное темпу роста за весь рассматриваемый период. Если значение признака образуется как произведение отдельных вариантов, то используют среднюю геометрическую.

Так как средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выражен в процентах, то для равностоящих рядов динамики расчеты по средней геометрической сводятся к вычислению средних коэффициентов роста из цепных по «цепному способу»:

Где n - число цепных коэффициентов роста;
Кц - цепные коэффициенты роста;
Кб - базисный коэффициент роста за весь период.

Определение среднего коэффициента роста может быть упрощено, если будут ясны уровни динамического ряда. Так как произведение цепных коэффициентов роста равно базисному, то в подкоренное выражение подставляют базисный коэффициент роста.

Формула для определения среднего коэффициента роста для равностоящих рядов динамики по «базисному способу» будет такая:

Средние темпы прироста рассчитываются на основе средних темпов роста (Тр) вычитанием из последних 100%:

Для того чтобы определить средний коэффициент прироста (Кпр), нужно из значений коэффициентов роста (Кр) вычесть единицу.